Patrate Perfecte

Un număr natural n se numeste pătrat perfect dacă există un număr natural a astfel încât n=a2.

Ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi decât 0, 1, 4, 5, 6, sau 9.

Puncte de vedere asupra unei probleme cu patrate perfecte:

Pentru NU

1. Stabilirea ultimei cifre care ar putea fi 2, 3, 7, 8 - deci NU a unui p.p.

2. Incadrarea numarului intre doua p.p. consecutive - deci NU e p.p.

3. Stabilirea divizibilitatii cu un numar prim, la putere impara - deci NU e p.p.

Pentru DA

1. Gasirea efectiva a numarului a carui putere a doua este patratul perfect.

2. Demonstrarea faptului ca are un numar impar de divizori

In files gasiti un material care tratează această temă foarte explicit! Merită citit!


1. Determinati numerele naturale n pentru care 1!+2!+3!+…+n! este pătrat perfect.

Rezolvare

2. Arătati că 1+2.3+4.5.6+7.8.9.10+11.12.13.14.15+… nu poate fi pătrat perfect.

Rezolvare

3. Arătaţi că numărul 21549+31549+7 nu este pătrat perfect. (Sorin Budişan, OL Bistriţa-Năsăud, 2006)

4. Arătaţi că 5n2+5n+7 nu este patrat perfect, oricare ar fi n numar natural.

5. Arătaţi că pentru orice numar natural n există x şi y pătrate perfecte astfel încât x+y=10n . (GM 2-1986)

6. Determinaţi numărul de trei cifre având cifra sutelor egală cu cea a zecilor stind ca el si răsturnatul lui sunt patrate perfecte.

7. Scrieţi numărul 52005 ca sumă de trei pătrate perfecte nenule. (Concurs RMCS 2006)

8. Câte numere de patru cifre, având cifra unitătilor 2, sunt divizibile cu 4 şi au proprietatea că numărul format din cifra miilor si a sutelor este pătrat perfect ?

9. Fie numărul A=32+34+….+32006. Arătati că 8A+9 este pătrat perfect. (OJM Arges 2006)

10. Câte pătrate perfecte se găsesc între 106 si 72.112.132 ?

11. Scrieti numărul 62007 ca diferentă a două pătrate perfecte.

12. Numărul 12345678910111213……20082009 este pătrat perfect ? Dar dacă schimbăm ordinea cifrelor, câte pătrate perfecte putem obtine ?

13. Arătati că în multimea {11,111,1111,….,111…1,…..} nu există niciun pătrat perfect.

14. Scrieţi numărul 292009 ca sumă de două pătrate perfecte.

15. Arătati că numărul 132001 poate fi scris ca o sumă de două pătrate perfecte.

16. Să se afle numerele naturale n astfel încât a = 1.2 . 3 .. n + 3 sa fie pătrat perfect.

17. Dovediti că numărul natural a = 2 + 21 + 22 + 23 + … + 299 este un pătrat perfect.

18. Să se afle cel mai mic numar natural de două cifre cu proprietatea că suma dintre pătratul şi cubul său este pătrat perfect.


Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License