Probleme

1. Determinați numerele naturale n pentru care 1!+2!+3!+…+n! este pătrat perfect.

Rezolvare 01

2. Arătați că 1+2.3+4.5.6+7.8.9.10+11.12.13.14.15+… nu poate fi pătrat perfect.

Rezolvare 02

3. Arătaţi că numărul 21549+31549+7 nu este pătrat perfect. (Sorin Budişan, OL Bistriţa-Năsăud, 2006)

4. Arătaţi că 5n2+5n+7 nu este patrat perfect, oricare ar fi n numar natural.

5. Arătaţi că pentru orice numar natural n există x şi y pătrate perfecte astfel încât x+y=10n . (GM 2-1986)

6. Determinaţi numărul de trei cifre având cifra sutelor egală cu cea a zecilor stind ca el si răsturnatul lui sunt patrate perfecte.

7. Scrieţi numărul 52005 ca sumă de trei pătrate perfecte nenule. (Concurs RMCS 2006)

8. Câte numere de patru cifre, având cifra unităților 2, sunt divizibile cu 4 şi au proprietatea că numărul format din cifra miilor și a sutelor este pătrat perfect ?

9. Fie numărul A=32+34+….+32006. Arătați că 8A+9 este pătrat perfect. (OJM Arges 2006)

10. Câte pătrate perfecte se găsesc între 106 și 72.112.132 ?

11. Scrieți numărul 62007 ca diferență a două pătrate perfecte.

12. Numărul 12345678910111213……20082009 este pătrat perfect ? Dar dacă schimbăm ordinea cifrelor, câte pătrate perfecte putem obține ?

13. Arătați că în mulțimea {11,111,1111,….,111…1,…..} nu există niciun pătrat perfect.

14. Scrieţi numărul 292009 ca sumă de două pătrate perfecte.

15. Arătați că numărul 132001 poate fi scris ca o sumă de două pătrate perfecte.

16. Să se afle numerele naturale n astfel încât a = 1.2 . 3 .. n + 3 sa fie pătrat perfect.

17. Dovediți că numărul natural a = 2 + 21 + 22 + 23 + … + 299 este un pătrat perfect.

18. Să se afle cel mai mic numar natural de două cifre cu proprietatea că suma dintre pătratul şi cubul său este pătrat perfect.

19. Să se arate că oricare ar fi n număr natural, numărul 9n+4n+2 nu este pătrat perfect.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License