Probleme Pentru Olimpiada

Inainte de toate, puteti consulta materialele postate aici, aici si aici.

1. Se da multimea A = {1, 2, 3, 4, …, 2006}. Care este numarul maxim de elemente ale unei submultimi B a lui A , astfel incat produsul elementelor lui B sa nu fie divizibil cu 36 ?

Etapa locala Slatina 2006

Rezolvare

2. Fie A = {1, 2, 3, 4,…, 2006}. Sa se arate ca nu exista doua submultimi disjuncte B si C ale lui A, a caror reuniune sa fie egala cu multimea A iar suma elementelor din B sa fie egala cu suma elementelor multimii C.

Etapa locala Slatina 2007

Rezolvare

3. Se scriu toate numerele naturale nenule in ordine, incepand de la 1 si se formeaza multimile A1={1}, B1={2}, A2={3,4}, B2={5,6}, A3={7,8,9}, B3={10,11,12} si asa mai departe. Sa se afle suma numerelor din multimea A208.

Etapa judeteana Olt 2008

Rezolvare

4. O multime de numere naturale nenule A cu 4 elemente se numeste productiva daca orice element al ei este produsul sau catul a doua elemente distincte ale lui A.

a) Sa se arate ca multimea A={2,6,12,24} este productiva.

b) Sa se arate ca nicio multime productiva nu contine elementul 1.

Etapa judeteana Olt 2009

Rezolvare

5. Fie X si Y doua multimi distincte, nevide, de numere naturale. Spunem ca X divide Y daca orice element din X divide cel putin un element din Y.

a) Sa se verifica ca A divide B, unde A={2,4,6} si B={1,4,12}.

b) Sa se gaseasca doua multimi distincte A, B avand fiecare cate trei elemente astfel incat A divide B si B divide A.

c) Sa se gaseasca doua multimi distincte A, B avand fiecare cate 2006 elemente astfel incat A divide B si B divide A.

Etapa judeteana Olt 2009

Rezolvare

6. O multime de numere naturale nenule A, cu cel putin doua elemente o numim ideala daca pentru orice doua elemente a si b din A avem a/b sau b/a.

a) Construiti o multime ideala cu 3 elemente.

b) Aratati ca daca p>1 este un numar prim, atunci multimea divizorilor numarului pn este ideala, pentru orice n numar natural nenul.

c) Sa se determine o multime ideala cu 8 elemente stiind ca suma elementelor sale este 255.

Etapa judeteana Olt 2009

Rezolvare

7. Aratati ca pentru orice numar natural impar a, se gaseste un numar natural nenul b astfel incat 2b-1 se divide la a.

Indicatie

8. Fie o multime avand n elemente. Demonstrati ca se poate construi o submultime a acesteia, nevida, care sa aiba suma elementelor divizibila cu n.

Rezolvare

Daca dati click aici veti gasi subiecte date la faza locala a olimpiadei de matematica 2009 in alte judete. Curaj! Hai ca nu-s grele! Cam ca schema de mai jos!

securedownload.gif
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License